O związku między geometrią a fizyką
Przez pewien czas bardziej konserwatywny element tego społeczeństwa będzie przeciwstawiał się inowa-cjom i może nawet spali na dwuwymiarowym ogniu zwolenników geometrii nieeuklidesowej. Te konserwatywne istoty powiedzą, że używane sztaby sztywne nie były dostatecznie sztywne, że były pewne różnice w temperaturze, że się te sztaby krzywiły i zmieniały długość i że te zmiany fizyczne są odpowiedzialne za pozorne niepowodzenia geometrii Euklidesowej. Ale ostatecznie nauka, jak zawsze, zwycięży i w tej walce. Powoli wszyscy mieszkańcy dwuwymiarowej kuli przekonają się, że jest znacznie wygodniejsze użycie geometrii kuli. A więc nauczą się, że linia „prosta“ (tzn. dla ciebie, który jesteś stworzeniem trójwymiarowym, wielkie koło) jest zawsze zamknięta, że promień świetlny wysłany z dowolnego punktu wraca do swego punktu wyjścia. Sformułują oni to ostatnie twierdzenie, mimo że nie mogą podróżować naokoło swego świata, nawet jeśli 100 pokoleń urodzi się, umrze i urodzi się znowu, zanim znajdą drogę eksperymentów, że promień światła wraca do punktu wyjścia.
Wyprowadzą ten wniosek z tego, że w ich sąsiedztwie geometria nieeuklidesowa opisuje zjawiska lepiej, bardziej ekonomicznie aniżeli stara geometria Euklidesowa. W ten to sposób wielka rewolucja naukowa wybuchnie i zwycięży w umysłach owych dwuwymiarowych stworzeń.
Ta historia nie jest tak fantastyczna, jak to się wydaje. Istotnie, niektóre jej rysy charakterystyczne przypominają nam historię poznania naszej Ziemi i odkrycia jej kulistego kształtu.
ROZDZIAŁ TRZECI HISTORII O ISTOTACH DWUWYMIAROWYCH
Znowu wyobraźmy sobie nagłą zmianę. Znowu coś nagle się stało, gdy te dwuwymiarowe stworzenia spały. Tym razem załóżmy zmianę nie w dziedzinie geometrii, lecz w dziedzinie fizyki, chociaż wiemy już, że nie ma sensu wprowadzać wyraźnego podziału pomiędzy geometrią a fizyką. Wyobraźmy sobie na tej kuli dwa przeciwne punkty, które będziemy nazywali biegunem północnym i południowym. Temperatura, która była na kuli przedtem wszędzie jednakowa, uległa nagłej zmianie. Jest zimno na biegunach, cieplej z dala od nich, a równik jest linią, gdzie temperatura jest najwyższa. Załóżmy, że na biegunach jest tak zimno, że panuje tam temperatura zera bezwzględnego, to znaczy, zakładamy, iż wymiary tych żyjących stworzeń i wymiary sztywnych sztab zmierzają do zera, gdy te stworzenia podróżując w kierunku biegunów stają się coraz to mniejsze, tak samo ich kroki coraz się zmniejszają.
Chociaż owe istoty mogą podróżować wzdłuż równika albo wzdłuż jakiegokolwiek równoleżnika, to jednak nigdy nie osiągną biegunów.
Podróżując wokoło równoleżników stwierdzą, gdy rozkład temperatury będzie odpowiednio dobrany, że każdy taki okrąg koła jest tak samo długi jak równik, dlatego, bo ich sztaby i ich wymiary zmniejszyły się odpowiednio. Równoleżnik jest mniejszy od równika, ale w tym samym stosunku zmniejszyły się wymiary owych istot i wymiary ich sztab.
A więc nasze inteligentne dwuwymiarowe istoty znalazły się w zupełnie nowej sytuacji. I oto mają dwa sposoby dostosowania nauki do tego zmiennego świata.